コンピュータはデータを扱うときに0と1しか使うことができません．「いや，5とか7とか画面上に出てるじゃないか」と思う方もいるかもしれませんが，それは画面に表示させる際に変換しているだけで，コンピュータの中では0と1のみで表されているんですね．
この0と1だけで表現する方法を2進数といいます．
今回はコンピュータの基本中の基本，2進数について解説していきます．
まずは10進数から理解しよう
2進数の説明に入る前に，まずは私たちが普段使っている10進数について見ていきましょう．
10進数のルールは以下の通りです．
- 0～9の10つの数字を使う
- 各ケタが10になったら1ケタ繰り上がる
例えば79に1数字を足すとしましょう．すると，1の位が9+1=10となりますよね．10となったら1ケタ繰り上がるため，79＋1＝80となるわけです．当たり前のようですが，これをしっかり理解しておくことで2進数の理解もスムーズになります．
10進数は10になったら1ケタ繰り上がる
2進数のルールとは？
では続いて2進数のルールについて見ていきましょう．
10進数のルールは以下の通りです．
- 0,1の2つの数字を使う
- 各ケタが2になったら1ケタ繰り上がる
2進数では0と1のみしか数字を使わないわけです．例えば(10101)2 のように表現します．この括弧の右下の”2″は10進数と区別するためのもので，「基数」と言います．これ以降，2進数のときには”2″を，10進数のときには”10″を括弧の右下書くことにします．
2進数は2になったら1ケタ繰り上がる
2進数と10進数の変換方法
では10進数を2進数の表現に変換したい，なんてときにはどうすればいいのでしょうか？
実はこれも意外と簡単です．まずは10進数と2進数についてもう少し深く見ていきましょう．
例えば10進数での345について考えてみます．この345を式で表すと，
$(345)_{10} = 3\times10^2+4\times10^1+5\times10^0$
となります． $10^2$，$10^1$，$10^0$ などを各ケタの「重み」と言います．2進数のときにはこの重みの10が2に変わるわけです．
例えば，$(1011)_{2}$について考えてみましょう．
$(1011)_{2} = 1\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+ 1\times2^0 = (11)_{10}$
と表すことができます．2進数は簡単な式を計算するだけで10進数にすぐ変換することができるんですね．
10進数を2進数にするには？
では逆に10進数を2進数に変換するにはどうすればいいのでしょうか？
こちらもやり方は簡単で，商が0になるまで2で割り続け，余りを並べるだけです．例えば$(21)_{10}$の場合はこんな感じで
と計算できて，2進数では $(10101)_{2}$ になります．
2進数で小数を表すには？
次に，2進数を使って小数を表現する説明に移りましょう．
小数も先ほどと同様に，「基数」や「重み」の考え方がベースになります．つまり，10進数での小数第一位は$10^{-1}$ ，小数第二位は$10^{-2}$ が重みになるわけです．例として $(21.73)_{10}$ で考えてみます．
$(21.75)_{10} = 2\times10^1+1\times10^0+7\times10^{-1} +5\times10^{-2} $
となります．2進数を10進数に変換したい場合，先ほどの説明とやり方は同じですが，10進数を2進数に変換したい場合，整数部と小数部に分けて考える必要があります．
- 整数部は先ほどと同じ
- 小数部は逆に2を掛け，整数部に繰り上がったら1，繰り上がらなかったら0
- 再び小数部に2を掛けて残りが0になったら終了
例えば $(21.75)_{10}$を考えてみると以下のようになり，
$(21.75)_{10} = (10101.11)_{2}$ と表せるわけです．
他に8進数や16進数などもある
2進数や10進数の他にも8進数や16進数の考え方もあります．
8進数では2進数の3ケタ分を，16進数では4ケタ分を1ケタで扱えるという特徴がありますが，基数や重みなどの基本的な考え方は同じです．
ここではより特徴的な16進数について少し見てみましょう．
16進数は0から9の他に，アルファベットのAからFも使います．Aは10進数での10，Fは10進数での15だと考えます．いくつか例を見てみましょう．
$(21)_{16} = 2\times16^1+1\times16^0 = (33)_{10} $
$(1A)_{16} = 1\times16^1+10\times16^0 = (26)_{10} $
$(AF)_{16} = 10\times16^1+15\times16^0 = (175)_{10} $
といった感じです．
2進数の4ケタ分を16進数では1ケタで表す
さて，8進数では2進数の3ケタ分を，16進数では2進数の4ケタ分を1ケタで表すと言いましたが，その意味も例を見ながら理解しましょう．
$(21)_{16} = (33)_{10} = (10\ 0001)_{2} $
$(1A)_{16} = (26)_{10} = (1\ 1010)_{2} $
$(AF)_{16} = (175)_{10} = (1010\ 1111)_{2} $
2進数の表記は下の位から4ケタごとにスペースを空けています．これでわかったのではないでしょうか？
ご覧のように，2進数表記にした際の4ケタ分をひとまとまりとして，16進数では表記をしているということなんです．
コンピュータのデータを全て2進数表記で保存した場合には桁数が多くなりすぎてしまうため，同じデータを短い桁数で表現できる16進数が用いられることがあるんです．容量を節約するための工夫というわけですね．
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